Fórum studentů MFF UK

[quote="lukyj"]Nevite nekdo prosim, jak by se delala ta dvojka? Diky
BTW Myslim, ze ta trojka mela teda vyjit 12/11. Udelal jsem stejnou blbost, ale pak jsem si vlastne uvedomil, ze [latex]det(\frac{1}{24} A) =\frac{1}{24^2} * det(A)[/latex][/quote]
Srry, cele jsem to nejak spatne pochopil. Kdybych mohl prispevek smazat, tak to udelam :)

Nevite nekdo prosim, jak by se delala ta dvojka? Diky
BTW Myslim, ze ta trojka mela teda vyjit 12/11. Udelal jsem stejnou blbost, ale pak jsem si vlastne uvedomil, ze [latex]det(\frac{1}{24} A) =\frac{1}{24^2} * det(A)[/latex]

Skupina B:
1.) Zformulujte a dokažte větu o Choleského rozkladu (existenci a jednoznačnost). (7b)
Definujte pojem determinant (1b)
2.) Rozhodnete, zda bilineární forma b(x,y)=x[sup]T[/sup]Ay , kde A=
/ 2 0 2 \
| 0 3 0 |
\ 2 0 2 /
tvoří skalární součin na prostoru V = span {(1,-1,-2)[sup]T[/sup],(1,1,1)[sup]T[/sup]}. (6b)
3.)

A= (1/24)*
/ 1 7 \
\ 7 1 /
Spočítejte det(I + A + A[sup]2[/sup] ...). (6b)
4.
a) Pokud P,Q z R[sup]nxn[/sup] jsou ortogonální, pak i P[sup]-1[/sup]Q je ortogonální (2b)
b) Mají-li 2 matice stejná vlastní čísla, tak jsou podobné (2b)
c) Je-li A symetrická reálná matice, pak iA nemá reálné nenulové vlastní čislo. (2b)
d) Buď A= (po riadkoch) {(1 2), (2,1)}. Pak existuje matice S taková, že S[sup]T[/sup]AS =
/ 2 0 \
\ 0 -3/. (2b)

Celkom 28b, stupnica rovnaká.
Ak som niečo poplietol tak sorry, snáď si to niekto všimne :) Pekný víkend a gl hf so skúškami.

Skupina A
1. (8 bodov)
Zformulujte a dokažte Cayleyho-Hamiltonovu větu.
Definujte pojem bilineárni forma.

2. (6 bodov)
Rozhodněte, zda bilineárni forma b(x,y)=x[sup]T[/sup]Ay tvoří skalárni součin na prostoru V=span{(2,2,-1)[sup]T[/sup],(1,0,1)[sup]T[/sup]}
A =
(
1 0 2
0 3 1
2 1 2
)

3. (6 bodov)
Buď
A = (1/24) * ( 7 1; 1 7 ) --- matica 2*2
Spočítejte det(I[sub]2[/sub] + A + A[sup]2[/sup] + A[sup]3[/sup] + ...)
________________
Výsl: det = 2

4. (8 bodov) - každé po dva body
Rozhodněte a zduvodněte, která z následujícich tvrzení jsou pravdivá:
(a) Buď v[sub]U[/sub] projekce vektoru v na podprostor U, a buď [latex]u \in U[/latex] libovolné.
Pak || u - v ||[sup]2[/sup] = || v - v[sub]U[/sub]||[sup]2[/sup] + || v[sub]U[/sub] - u ||[sup]2[/sup]
(b) Matica (5,0;0,5) je podobná jen sama sobě.
(c) Spektrální rozklad symetrické matice s navzájem ruznými vlastními čísly je jednoznačný.
(d) Buď A = { (1,2) , (2,3) }. Pak existuje matice S taková, že S[sup]T[/sup]AS = I.

___________________________________
Skupina B
1. Dôkaz Choleského rozklad. Definujte Determinant.
Viac bohužiaľ neviem.
____________________________________

Známky - pestré, ale oproti LAI mi prišlo miernejšie opravovanie

4 - 6 - 10
3 - 11 - 16
2 - 17 - 21
1 - 22+
_______________