od zhnujm » 6. 6. 2014 11:15
Skupina B:
1) Zformulujte a dokažte Gram-Schmidtovu ortogonalizaci
2) Najděte matici projekce na přímku
při nestandardním skalárním součinu
3)
a) Najděte vlastní čísla
a odpovídající vlastní vektory
b) Rozhodněte, zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor
4) Rozhodněte a zdůvodněte, která tvrzení jsou pravdivá
a) V podprostor
jeho ortogonální báze. Pak matice projekce do V má tvar
b) Pro prostory U,V,W platí, že pokud
a
, tak
c) Jsou-li regulární matice A,B podobné, pak i
jsou podobné
d) Pro každé
je matice
positivně semidefinitní.
Skupina B:
1) Zformulujte a dokažte Gram-Schmidtovu ortogonalizaci
2) Najděte matici projekce na přímku [latex]$p = span\{(3,2,1)^T\}$[/latex] při nestandardním skalárním součinu [latex]\langle x,y\rangle^* = x_1y_1 - 2x_1y_2 - 2x_2y_1 + 5x_2y_2 + 4x_3y_3[/latex]
3)
[latex]A = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&1\\1&1&1\end{pmatrix}[/latex]
a) Najděte vlastní čísla [latex]\lambda_1,\lambda_3,\lambda_3[/latex] a odpovídající vlastní vektory
b) Rozhodněte, zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor [latex]x = (3,1,1)^T[/latex]
4) Rozhodněte a zdůvodněte, která tvrzení jsou pravdivá
a) V podprostor [latex]\mathbb{R}^n, u_1, ..., u_m[/latex] jeho ortogonální báze. Pak matice projekce do V má tvar [latex]P = \sum\limits_{i=1}^{m}u_iu_i^T[/latex]
b) Pro prostory U,V,W platí, že pokud [latex]U\subseteq V^\perp[/latex] a [latex]V\subseteq W^\perp[/latex], tak [latex]W\subseteq U^\perp[/latex]
c) Jsou-li regulární matice A,B podobné, pak i [latex]A^{-1},B^{-1}[/latex] jsou podobné
d) Pro každé [latex]A, B \in\mathbb{R}^{n\times n}[/latex] je matice [latex]A(A + B^T)(A^T + B)A^T[/latex] positivně semidefinitní.