Fórum studentů MFF UK

1. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. (8 b)

2. Mějme matici a vektor řádu [latex]n \ge 2[/latex].
a) Spočítejte det(A). (3 b)
b) Spočítejte první složku x[sub]1[/sub] řešení soustavy Ax = b. (3 b)
[latex]A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & 2 \\ 2 & 2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 2 \\ 2 & \hdots & 2 & n \end{pmatrix} , b = \begin{pmatrix} n \\ n-1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}[/latex]

3. Na prostoru R[sup]3[/sup] uvažujme skalární součin <x, y> := x[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub]y[sub]2[/sub] - x[sub]2[/sub]y[sub]3[/sub] - x[sub]3[/sub]y[sub]2[/sub] + 2x[sub]3[/sub]y[sub]3[/sub].
V tomto skalárním součinu:
a) Spočítejte projekci vektoru u = (1, 4, 1)[sup]T[/sup] na podprostor V = span{(1, 1, 1)[sup]T[/sup], (3, 3, 1)[sup]T[/sup]}. (3 b)
b) Najděte ortogonální doplněk [latex]V^\perp[/latex]. (3 b)

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
a) Buď [latex]A \in R^{m\times n}[/latex] a P matice projekce do S(A). Potom PA = A. (2 b)
b) Spektrální rozklad reálné symetrické matice je jednoznačný. (2 b)
c) Buď [latex]A \in R^{m\times n}[/latex] positivně semidefinitní matice a [latex]\lambda_n[/latex] její nejmenší vlastní číslo. Pak [latex]\lambda_n I_n - A[/latex] je také positivně semidefinitní matice. (2 b)
d) Každá reálná matice lze rozložit na součin dolní trojúhelníkové a ortogonální (v tomto pořadí). (2 b)