Fórum studentů MFF UK

[b]Varianta A[/b]
1. Zformulujte a dokažte větu o Choleského rozkladu. [b](7)[/b]
Definujte dererminant. [b](1)[/b]

2. (a) Najděte matici projekce [i]P[/i] do podprostoru [latex]$ V= span\{(1,2,2)^T,(-1,2,0)^T\} $[/latex]. [b](2)[/b]
(b) Rozložte [i]P[/i] na součin [latex]$ P=UU^T $[/latex] pro vhodnou matici [latex]U \in \mathbb{R}^{3 \times 2}[/latex]. [b](4)[/b]

3. Buď
[latex]$$ A = \left (\begin{matrix} 3 &1 &2 \\ 1 &4 &1 \\ 2 &1 &3 \end{matrix} \right ) $$[/latex].
(a) Najděte vlastní čísla [latex]$ \lambda _1,\lambda _2, \lambda_3[/latex] matice [i]A[/i]. [b](2)[/b]
(b) Aplikujte větu o deflaci dominantního vlastního čísla. [b](2)[/b]
(c) Rozložte matici [latex]$ A=A_1 + A_2 + A_3 $[/latex] na součet tří matic hodnosti 1 tak,aby [latex]$\lambda_i $[/latex] bylo vlastním číslem [latex]$ A_i $[/latex]. [b](2)[/b]

4. Rozhodněte a zdůvodněte,která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
(a) Jsou-li sloupce matice [latex]$ A \in \mathbb{R}^{m \times n } $[/latex] ortonormální vektory, potom [latex]$A^T A = I_n$[/latex]. [b](2)[/b]
(b) Hodnost matice [latex]$ A \in \mathbb{R}^{n \times n} $[/latex] je rovna počtu nenulových vlastních čísel [i]A[/i]. [b](2)[/b]
(c) Buď [i]A[/i] positivně definitní matice. Zvětšíme-li prvek a[sub]11[/sub], dostaneme opět positivně definitní matici. [b](2)[/b]
(d)Jsou-li [latex]$ b,c : V \times V \rightarrow \mathbb{R}$[/latex] dvě bilineární formy, pak [i]b+c[/i] je také bilineární forma. [b](2)[/b]

[line][/line]4.c,d je ANO (možná později i napíšu odůvodnění )
Tak kdo máte co správně tak to napište .