od mrwep » 8. 6. 2010 17:17
Oddělení B:
1. Zformulujte a dokažte větu o charakterizaci positivně defitních matic. (8 bodů)
2. Buď
a) Najděte spektrální rozklad matice
(4 body)
b) Aplikujte větu o deflaci dominantního vlastního čísla. (2 body)
3. Uvažujme kvadratickou formu
=x_1^2-2x_1x_2+4x_1x_3+3x^2_2+5x^2_3.)
a) Najděte matici formy vzhledem k bázi
^T,(-1,0,2)^T,(2,1,0)^T.)
(2 body)
b) Najděte věrohodným způsobem vektor
takový, že
<0)
. (4 body)
4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
a) Pro každou čtvercovou matici
platí
=\det(AA^T))
. (2 body)
b) Jsou-li matice
diagonalizovatelné, pak i součin
je diagonalizovatelný. (2 body).
c) Matice
je unitární
(2 body)
d) Pro každou matici
platí rovnost sloupcových prostorů
=\mathcal{S}(A^T))
(2 body)
Oddělení B:
1. Zformulujte a dokažte větu o charakterizaci positivně defitních matic. (8 bodů)
2. Buď
[latex]A=\begin{pmatrix}5&2&4\\2&2&2\\4&2&5\end{pmatrix}.[/latex]
a) Najděte spektrální rozklad matice [latex]A[/latex] (4 body)
b) Aplikujte větu o deflaci dominantního vlastního čísla. (2 body)
3. Uvažujme kvadratickou formu [latex]f(x)=x_1^2-2x_1x_2+4x_1x_3+3x^2_2+5x^2_3.[/latex]
a) Najděte matici formy vzhledem k bázi [latex](1,1,-1)^T,(-1,0,2)^T,(2,1,0)^T.[/latex] (2 body)
b) Najděte věrohodným způsobem vektor [latex]x\in\mathbb{R}^3[/latex] takový, že [latex]f(x)<0[/latex]. (4 body)
4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
a) Pro každou čtvercovou matici [latex]A[/latex] platí [latex]\det(A^TA)=\det(AA^T)[/latex]. (2 body)
b) Jsou-li matice [latex]A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}[/latex] diagonalizovatelné, pak i součin [latex]AB[/latex] je diagonalizovatelný. (2 body).
c) Matice [latex]A[/latex] je unitární
[latex]A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1+i&-1-i\\1-i&1+i\end{pmatrix}[/latex] (2 body)
d) Pro každou matici [latex]A[/latex] platí rovnost sloupcových prostorů [latex]\mathcal{S}(A^\dagger)=\mathcal{S}(A^T)[/latex] (2 body)