Fórum studentů MFF UK

Ještě doplním, že od soustavy k U(x) vede i kapku jiná cesta (myslím, že se ji snažil Antoch naznačit na přednášce, ale v mých zápiscích nebyla úplná ani správně).
U soustavy si totiž můžeme všimnout, že sloupce tvoří řady, přičemž ty na pravé straně se jen trochu liší od U(x). Tedy soustavu
[latex]p^3x^3 = x^3u_3 + px^3u_2 + p^2x^3u_1[/latex]
[latex]p^3x^4 = x^4u_4 + px^4u_3 + p^2x^4u_2[/latex]
[latex]...[/latex]

lze přepsat jako
[latex]\frac{p^3x^3}{1-x} = (U(x) - 1) + px(U(x) - 1) + p^2x^2(U(x) - 1)[/latex]
z čehož snadno vyjádříme (U(x) - 1) a následně U(x). Výsledek pak bude shodný jako v PDF (až na znaménka - viz předchozí příspěvek).
Na levé straně je to jen součet geometrické řady a vpravo je třeba členy správně rozdělit. Ona jednička, která se od U(x) vždy odečítá je jednička, kterou představuje [latex]u_0[/latex]. Hodnoty [latex]u_1[/latex] a [latex]u_2[/latex] jsou nulové, takže s nimi nemusíme počítat.

[quote="ToJeJedno"]Pro ty, kteří to považuí za trivialitu, prosím o kontrolu, kde jsem udělal chybu - vyšlo mi to jinak, než jak napovídá Antoch. Díky.[/quote]

Triviální mi to nepřijde, ale chyba se podle mě stala při sestavování soustavy rovnic.

Z = líc
N = rub
p = pravděpodobnost hodu líce
[latex]\xi[/latex] = padnou tři líce za sebou

[latex]q_n[/latex] vyjadřuje pravděpodobnost, že první trojice líců padne až po n-tém kroku (tedy poslední z této trojice padne při hodu číslo >=n+1).
[latex]f_n[/latex] vyjadřuje pravděpodobnost, že první trojice líců padne právě v n-tém kroku (tedy poslední z této trojice padne právě při hodu číslo n).
[latex]u_n[/latex] vyjadřuje pravděpodobnost, že některá trojice líců padne právě v n-tém kroku. Je ovšem třeba mít na paměti, že se na tento případ aplikuje zapomínání, tedy v posloupnosti NNZZZZ se jev [latex]\xi[/latex] vyskytne na pozici 5 (pozice se počítají od 1), ale na pozici 6 už ne.

Sestavované rovnice jsou založeny na tom, že víme, jakou pravděpodobnost má posloupnost ...ZZZ. Ta má totiž pravděpodobnost [latex]p^3[/latex] – pravděpodobnost, že na 3 pevně daných pozicích (ty poslední) padne líc a zbytek nás nezajímá. Zároveň však tuto pravděpodobnost umíme vyjádřit pomocí [latex]u_n[/latex], musíme však zohlednit zapomínání.

Na posledních třech pozicích se mohou objevit Z v těchto třech případech:
[list]
[*][latex]\xi[/latex] nastal přímo na pozici n,[/*]
[*][latex]\xi[/latex] nastal přímo na pozici n-1 a na pozici n je Z[/*]
[*][latex]\xi[/latex] nastal přímo na pozici n-2 a na pozicích n-1 a n je Z[/*]
[/list]

Z předchozího vyplývá, že
[latex]p^3 = u_n + pu_n + p^2u_{n-1}[/latex]

Po použití této rovnice už by to mělo vyjít správně.

Tento post mne znervoznoval a tak jsme se to snazil spocitat. Velmi dobry navod je ve [b]Feller[/b]ovi, str. [b]278[/b], priklad [b](b)[/b]. [u]Vychazi to stejne jako Antochovi[/u] a i hrani s vyrazy, ktere je schovane za kroky v knizce, vychazi korektne. Doporucuju se tam kouknout (ostatne u PM by se tam clovek mel divat neustale).

Ahoj, jestli je někdo takový zoufalec co já, že se zasekne na prvním příkladu z Antochových slajdů dva dny (za předpokladu, že nechodil na cvičení), nabízím tento příklad vyřešený. Pro ty, kteří to považuí za trivialitu, prosím o kontrolu, kde jsem udělal chybu - vyšlo mi to jinak, než jak napovídá Antoch. Díky.

[url]http://jelinek.kvalitne.cz/3lice.pdf[/url]

Hodně štěstí ke zkoušce. JJ.