od VojtaK » 7. 1. 2011 16:16
(1) (6b) Dokažte že podgrupa indexu 2 je normální. Rozhodněte, zda totéž platí obecně i podgrupách indexu 3.
(2) (8b) Dokažte Burnsideovo lemma - tzn. že počet orbit je roven (součtu |Fg| přes g z G) / |G|, kde Fg={x z X, f(g)(x)=x}. f je akce G na X.
(3) (7b) Dokažte existenci a jednoznačnost rozkladu konečné komutativní grupy na její p-primární komponenty. (možná jen existenci, nevím teď jistě)
(4) (7b) R okruh a obor integrity, S podmnožina R multiplikativní, dokažte, že podílový okruh RS^-1 je obor integrity a popište podílové těleso RS^-1.
(5) (6b) Dokažte jednoznačnost limity diagramu.
Celkem 34b, 26 na jedničku, 20 na dvojku, 14 na trojku.
Pokud by člověk předem věděl, jaké příklady dostane, šlo by o snadnou záležitost. Pokud chce člověk nějakou lepší známku, chce to asi umět převážnou většinu toho, co je ve skriptech, a to už dá docela práci.
Řešení (1),(3),(5) je určitě ve skriptech, protipříkladem na (1) je S3. (4) se dokáže poměrně snadno z definice toho, co je RS^-1, tedy alespoň doufám. (2) není ve skriptech, ale na přednášce to bylo. Mám pocit, že se to dokazuje tak, že počítáme mohutnost nějaké chytře zvolené množiny dvěma způsoby.
(1) (6b) Dokažte že podgrupa indexu 2 je normální. Rozhodněte, zda totéž platí obecně i podgrupách indexu 3.
(2) (8b) Dokažte Burnsideovo lemma - tzn. že počet orbit je roven (součtu |Fg| přes g z G) / |G|, kde Fg={x z X, f(g)(x)=x}. f je akce G na X.
(3) (7b) Dokažte existenci a jednoznačnost rozkladu konečné komutativní grupy na její p-primární komponenty. (možná jen existenci, nevím teď jistě)
(4) (7b) R okruh a obor integrity, S podmnožina R multiplikativní, dokažte, že podílový okruh RS^-1 je obor integrity a popište podílové těleso RS^-1.
(5) (6b) Dokažte jednoznačnost limity diagramu.
Celkem 34b, 26 na jedničku, 20 na dvojku, 14 na trojku.
Pokud by člověk předem věděl, jaké příklady dostane, šlo by o snadnou záležitost. Pokud chce člověk nějakou lepší známku, chce to asi umět převážnou většinu toho, co je ve skriptech, a to už dá docela práci.
Řešení (1),(3),(5) je určitě ve skriptech, protipříkladem na (1) je S3. (4) se dokáže poměrně snadno z definice toho, co je RS^-1, tedy alespoň doufám. (2) není ve skriptech, ale na přednášce to bylo. Mám pocit, že se to dokazuje tak, že počítáme mohutnost nějaké chytře zvolené množiny dvěma způsoby.