od matfyzacka » 21. 1. 2008 16:54
Tentokrat jen jeden dukaz ze skript:(
1. Necht G je grupa a Fi : G -> S(G) je definovano Fi(g) = L_g. Dokazte, ze Fi je akce G na sobe a popiste vsechny orbity teto akce. [staci overit, ze Fi je grup.homomorfismus a jedina orbita je cele G]
2. G=(G,+,-,0) je konecna komutativni grupa radu p^n. Necht H={g z G|p*g=0}. Dokazte, ze H je Z_p (cela cisla modulo p)-linearni prostor dim <=n. Pro vsechna i=1,..,m sestrojte priklad G takove, ze dim H nad Z_p je rovna m.
[nejaka aplikace Frobenia-Stickelbergera]
3. R komutativni okruh, I<>R je ideal v R. Dokazte, ze I je maximalni v R <=> R|I je teleso [dukaz ze skript]
4. Napiste priklad grupy G, jeji podgrupy H<>{e} a prvku g z G\H takovych, ze gH=Hg, ale H neni normalni v G.
[napr. G= S_n x S_n, H= A_n x S_n-1]
5. G je konecna grupa, |G|=n >=1 a K je komutativni teleso. Dokazte, ze pro vsechna m>=n existuje verna reprezentace G nad K stupne m. [pro m=n dukaz ze skript, pro m>n mam matici A, ktera tvori jeden blok na diagonale a druhej doplnim jednotkovou matici, pod a nad bloky mam 0]
Tentokrat jen jeden dukaz ze skript:(
1. Necht G je grupa a Fi : G -> S(G) je definovano Fi(g) = L_g. Dokazte, ze Fi je akce G na sobe a popiste vsechny orbity teto akce. [staci overit, ze Fi je grup.homomorfismus a jedina orbita je cele G]
2. G=(G,+,-,0) je konecna komutativni grupa radu p^n. Necht H={g z G|p*g=0}. Dokazte, ze H je Z_p (cela cisla modulo p)-linearni prostor dim <=n. Pro vsechna i=1,..,m sestrojte priklad G takove, ze dim H nad Z_p je rovna m.
[nejaka aplikace Frobenia-Stickelbergera]
3. R komutativni okruh, I<>R je ideal v R. Dokazte, ze I je maximalni v R <=> R|I je teleso [dukaz ze skript]
4. Napiste priklad grupy G, jeji podgrupy H<>{e} a prvku g z G\H takovych, ze gH=Hg, ale H neni normalni v G.
[napr. G= S_n x S_n, H= A_n x S_n-1]
5. G je konecna grupa, |G|=n >=1 a K je komutativni teleso. Dokazte, ze pro vsechna m>=n existuje verna reprezentace G nad K stupne m. [pro m=n dukaz ze skript, pro m>n mam matici A, ktera tvori jeden blok na diagonale a druhej doplnim jednotkovou matici, pod a nad bloky mam 0]