od Alejandrito » 3. 2. 2009 21:51
Termín: 3. ÚNOR 2009
1) Spočítejte špičatost rozdělení R(-1/2,1/2). Z tohoto výsledku odvoďte špičatost rozdělení R(a,b) pro libovolná reálná a < b. (4 body)
2) Nechť (X_1, X_2)^T má dvourozměrné normální rozdělení s vektorem středních hodnot mý a varianční matici velke sigma. Dokažte, že z toho plyne, že rozdělení X_1 je N(mý_1,sigma_1^2). (1 bod)
3) Nechť X_1, ..., X_n je náhodný výběr z rozdělení N(mý,sigma^2). Určete rozdělení náhodné veličiny (n-1)*S_n^2/sigma^2 = 1/sigma^2 suma (X_i - průměr X_n)^2. (3 body)
4) Uvažujte náhodný výběr X_1, ..., X_n z rozdělení Po(lambda). Ukažte, že průměr X_n je konzistentní odhad parametru lambda. Navrhněte konzistentní odhad theta_n parametru theta = log(lambda). Najděte asymptotické rozdělení n^(1/2)[theta^_n - log(lambda)]. (4 body)
5) Nechť je dána testová statistika T(tlusté X) a kritický obor C_alfa = {X : |T(X)| >= c_alfa}. Uvažujte jinou testovou statistiku T*(X) definovanou jako T*(X) = g(T(X)), kde g je nějaká spojitá ryze monotónní funkce. Určete kritický obor pro testovou statistiku T*(X) tak, aby výsledný test měl stejnou hladinu jako test původně zadaný.
6) Napište nestranný odhad rozptylu náhodného výběru X_1, ..., X_n z L^2. Dokažte jeho nestrannost. (2 body)
Písemka váhu měla, ale asi zas nebylo potřeba mít přesně 8 bodů a výše, kdo měl méně, měl horší trojku a musel se pak snažit no. 10 b. z 16. je zas lepší trojka, a to se pak musíte snažit na dvojku (asi). Temata jsou stejná jako výše, ale je potřeba počítat s otázkami ze všeho kolem i co s tématem zdánlivě nesouvisí: měl jsem odhady parametru momentovou metodou a maximální věrohodností z konkrétního dost děsnýho rozdělení trochu připomínající hustotou normální a úkolem bylo aplikovat obě metody. Ale např. v momentové metodě musíte být schopní říct, jestli jsou odhady konzistentní a nestranné (to nejsou) a je potřeba to i zdůvodnit (konzistence: věta o spojité transformaci - diskuse její aplikovatelnosti a nestrannost se vyvrací Jensenovou nerovností). U maximální věrohodnosti nebyl žádný problém. Doplňující otázku na dvojku (stále jsem měl po písemce lepší trojku) jsem dostal: intervalový odhad pro rozptyl, což bylo v pohodě.
Termín: [b]3. ÚNOR 2009[/b]
1) Spočítejte špičatost rozdělení R(-1/2,1/2). Z tohoto výsledku odvoďte špičatost rozdělení R(a,b) pro libovolná reálná a < b. (4 body)
2) Nechť (X_1, X_2)^T má dvourozměrné normální rozdělení s vektorem středních hodnot mý a varianční matici velke sigma. Dokažte, že z toho plyne, že rozdělení X_1 je N(mý_1,sigma_1^2). (1 bod)
3) Nechť X_1, ..., X_n je náhodný výběr z rozdělení N(mý,sigma^2). Určete rozdělení náhodné veličiny (n-1)*S_n^2/sigma^2 = 1/sigma^2 suma (X_i - průměr X_n)^2. (3 body)
4) Uvažujte náhodný výběr X_1, ..., X_n z rozdělení Po(lambda). Ukažte, že průměr X_n je konzistentní odhad parametru lambda. Navrhněte konzistentní odhad theta_n parametru theta = log(lambda). Najděte asymptotické rozdělení n^(1/2)[theta^_n - log(lambda)]. (4 body)
5) Nechť je dána testová statistika T(tlusté X) a kritický obor C_alfa = {X : |T(X)| >= c_alfa}. Uvažujte jinou testovou statistiku T*(X) definovanou jako T*(X) = g(T(X)), kde g je nějaká spojitá ryze monotónní funkce. Určete kritický obor pro testovou statistiku T*(X) tak, aby výsledný test měl stejnou hladinu jako test původně zadaný.
6) Napište nestranný odhad rozptylu náhodného výběru X_1, ..., X_n z L^2. Dokažte jeho nestrannost. (2 body)
Písemka váhu měla, ale asi zas nebylo potřeba mít přesně 8 bodů a výše, kdo měl méně, měl horší trojku a musel se pak snažit no. 10 b. z 16. je zas lepší trojka, a to se pak musíte snažit na dvojku (asi). Temata jsou stejná jako výše, ale je potřeba počítat s otázkami ze všeho kolem i co s tématem zdánlivě nesouvisí: měl jsem odhady parametru momentovou metodou a maximální věrohodností z konkrétního dost děsnýho rozdělení trochu připomínající hustotou normální a úkolem bylo aplikovat obě metody. Ale např. v momentové metodě musíte být schopní říct, jestli jsou odhady konzistentní a nestranné (to nejsou) a je potřeba to i zdůvodnit (konzistence: věta o spojité transformaci - diskuse její aplikovatelnosti a nestrannost se vyvrací Jensenovou nerovností). U maximální věrohodnosti nebyl žádný problém. Doplňující otázku na dvojku (stále jsem měl po písemce lepší trojku) jsem dostal: intervalový odhad pro rozptyl, což bylo v pohodě.