od Sejsel » 28. 1. 2017 15:05
Byly alespoň dvě varianty, všechny otázky se lišily, ale byly principem podobné. Proto píšu jenom otázku 1 v obou variantách.
1. (varianta A)
Definujte pojem regulární matice
(1 bod)
Zformulujte a dokažte větu o matici složeného lineárního zobrazení.
(7 bodů)
1. (varianta B)
Definujte pojem znaménko permutace.
(1 bod)
Zformulujte a dokažte větu o maticové reprezentaci lineárního zobrazení.
(7 bodů)
2. (varianta B)
Buď
a) Nad kterým tělesem typu
, platí
?
(3 body)
b) Nad kterým tělesem typu
, platí
?
(3 body)
3. (varianta B)
Najděte dva
různé vektory
takové, že
při lineárním zobrazení
definovaném maticí
a bází
(6 bodů)
4. (varianta B)
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
(4x 2 body)
a) Buď
a buď
. Soustava
má jediné řešení právě tehdy, když soustava
má jediné řešení.
b) Je-li součin
čtvercová matice a
také, potom obě matice
a
musí být rovněž čtvercové.
c) Buďte
podprostory nějakého vektorového prostoru. Pak
.
d) Prostory
a
jsou isomorfní.
Byly alespoň dvě varianty, všechny otázky se lišily, ale byly principem podobné. Proto píšu jenom otázku 1 v obou variantách.
1. (varianta A)
Definujte pojem regulární matice [b](1 bod)[/b]
Zformulujte a dokažte větu o matici složeného lineárního zobrazení. [b](7 bodů)[/b]
1. (varianta B)
Definujte pojem znaménko permutace. [b](1 bod)[/b]
Zformulujte a dokažte větu o maticové reprezentaci lineárního zobrazení. [b](7 bodů)[/b]
2. (varianta B)
Buď
[latex]$A = \begin{pmatrix} 2 + 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$.[/latex]
a) Nad kterým tělesem typu [latex]$\mathbb{Z}_p, p \geq 3$[/latex], platí [latex]$(1, 1, 1)^T \in \text{Ker}(A^3)$ %ideálně by se tu použil DeclareMathOperator, ale...[/latex]? [b](3 body)[/b]
b) Nad kterým tělesem typu [latex]$\mathbb{Z}_p, p \geq 3$[/latex], platí [latex]$(1, 2, 1)^T \in \text{Ker}(A^T) \cap \mathcal{R}(A^{88})$[/latex]? [b](3 body)[/b]
3. (varianta B)
Najděte dva [i]různé[/i] vektory [latex]$x, y \in \mathbb{R}^3$[/latex] takové, že [latex]$f(x) = f(y) = (0, -1, 2)^T$[/latex] při lineárním zobrazení [latex]$f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$[/latex] definovaném maticí
[latex]${}_{kan}[f]_B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$[/latex]
a bází
[latex]$ B = \{(4, 4, 2)^T, (2, 1, 1)^T, (3, 2, 1)^T\}$.[/latex] [b](6 bodů)[/b]
4. (varianta B)
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: [b](4x 2 body)[/b]
a) Buď [latex]$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$[/latex] a buď [latex]$b, c \in \mathbb{R}^n$[/latex]. Soustava [latex]$Ax = b$[/latex] má jediné řešení právě tehdy, když soustava [latex]$Ax = c$[/latex] má jediné řešení.
b) Je-li součin [latex]$AB$[/latex] čtvercová matice a [latex]$ABAB$[/latex] také, potom obě matice [latex]$A$[/latex] a [latex]$B$[/latex] musí být rovněž čtvercové.
c) Buďte [latex]$U, V, W$[/latex] podprostory nějakého vektorového prostoru. Pak [latex]$U \cap (V + W) \supseteq (U \cap V) + (U \cap W)$[/latex].
d) Prostory [latex]$\mathcal{S} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}[/latex] a [latex]$\{(a + b, a - b, 2a - 3b)^T \in \mathbb{R}^3; a, b \in \mathbb{R} \}$[/latex] jsou isomorfní.