od Kamrusepa » 24. 1. 2014 22:03
1) Definujte pojem znaménko permutace 1
Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice 7
2) Uvazujme dva podprostory prostoru [latex]R^4[/latex]:
[latex]U = span\{(1,2,1,2), (1,1,1,1)\}[/latex]
[latex]V = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in R^4; x_1 + x_2 = x_3 + x_4, x_1 + x_3 = x_2 \}[/latex]
[list]
[*] Najdete vektor [latex]x \in U \setminus V[/latex]. 2 [/*]
[*] Najdete vektor [latex]y \in V \setminus U[/latex]. 4 [/*]
[/list]
3) Buď
[latex]B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
Pro lineární zobrazení [latex]f : R^{2 \times 2} \to R^{2 \times 2}[/latex] definovane [latex]f(A) = BA + AC[/latex] najdete:
[list]
[*] bazi obrazu [latex]f(R^{2 \times 2})[/latex],[/*]
[*] baz jadra, [/*]
[*] bazi prostoru matic [latex]A \in R^{2 \times 2}[/latex] splnujicich [latex]f(A) = f(f(A))[/latex]. [/*]
[/list]
4) Rozhodnete a zduvodnete, ktera z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva:
[list]
[*] Bud [latex]A,B \in R^{n \times n}[/latex]. Pak [latex](A-B)(A+B) = A^2 - B^2[/latex]. 2 [/*]
[*] Bud [latex]A \in R^{n \times n}[/latex] regularni matice. Pak [latex]A[/latex] lze elementarnimi radkovymi upravami prevest na [latex]A^2[/latex]. 2 [/*]
[*] Budte [latex]U,V,W[/latex] podprostory nejakeho vektoroveho prostoru. Pak [latex](U+V) \cap (U+W) \subseteq U + (V \cap W)[/latex]. 2 [/*]
[*] Pro linearni zobrazeni [latex]f: U \to V[/latex] a [latex]u,v,w \in U[/latex] plati
[latex]f(span\{u,v,w\}) = span\{f(u),f(v),f(w)\}[/latex].2 [/*]
[/list]