od Danstahr » 26. 1. 2012 19:32
Varianta A :
1) Formulujte a dokažte Steinitzovu větu o výměně.
2) Nad tělesem [latex]\mathbb{Z}_{5}[/latex] uvažujme
[latex]A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 1\\2 & 1 & 2\\1 & 3 & 2\end {array}\right)$$B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 3 & 0\\2 & 0 & 1\\4 & 2 & 0\end{array}\right)[/latex]
Určete dimenzi a najděte bázi prostoru matic
[latex]V = \{X \in \mathbb{Z}_{5}^{3\times3} | AX = BX \}[/latex]
3) Buď B báze [latex]\mathbb{R}^{3}[/latex] skládající se z vektorů [latex]v_1 = {(1, -1, 1)}^{T}, v_2 = {(0, 1, -2)}^{T}, v_3 = {(1, -1, 0)}^{T}[/latex].
[list]
[*]Uvažme zobrazení, které každému vektoru [latex]x \in \mathbb{R}^{3}[/latex] se souřadnicemi [latex][x]_B = (\alpha, \beta, \gamma)[/latex] přiřadí vektor [latex]{\alpha}v_1 + {\beta}v_2[/latex]. Ukažte, že toto zobrazení je lineární a najděte jeho matici vzhledem ke kanonické bázi.
[*]Dokažte, že každý vektor [latex]x \in \mathbb{R}^{3}[/latex] se dá jednoznačně rozepsat jako x = y + z, kde [latex]y \in span(x_1, v_2)[/latex] a [latex]z \in span(v_3)[/latex][/list]
4)Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá :
[list]
[*]Je-li [latex]A, B, C \in \mathbb{R}^{n{\times}n}[/latex] a [latex]ABC = I_n[/latex], pak také [latex]CAB \in I_n[/latex].
[*]Buďte U, V podprostory W, [latex]u_1,...,u_n[/latex] báze U a [latex]v_1,...,v_m[/latex] báze V. Potom [latex]u_1,...,u_n,v_1,...,v_m[/latex] je báze U+V.
[*]Pro každou matici [latex]A \in \mathbb{R}^{n{\times}n}[/latex] a [latex]k \in \mathbb{N}[/latex] platí [latex]rank(A^k) \geq rank(A^{k+1})[/latex].
[*]Buď [latex]f:\mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}[/latex] lineární zobrazení, jehož matice vůči nějaké bázi má hodnost m. Potom f je prosté.[/list]
Za případné překlepy se omlouvám.