od kamienok » 13. 2. 2011 21:13
1. Definujte pojem báze. Zformulujte a dokažte větu o existenci báze.
2. Buď
$$B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1\\2 & -1 & 7\\1 & 1 & 2\\3 & 2 & 7\end{array}\right))
Rozhodněte, zda
=S(B))
.
Rozhodněte, zda
=S(A))
.
3. Uvažujme dvě lineární zobrazí
zadaná
=\left(11,1,4\right)^{T}\\f\left(x^{2}+4x+2\right)=\left(3,5,-2\right)^{T}\\f\left(3x^{2}+3x+2\right)=\left(1,0,2\right)^{T}\end{array}\begin{array}{c}g\left(x^{2}\right)=\left(1,-2,2\right)^{T}\\g\left(x\right)=\left(-2,0,1\right)^{T}\\g\left(1\right)=\left(1,2,-1\right)^{T}\end{array})
Zvolte si bázi
prostoru
a spočítejte matici
![_{kan}\left[g\circ f^{-1}\right]_{B}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?_{kan}\left[g\circ f^{-1}\right]_{B})
.
Rozhodněte, zda
zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou.
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
(a) Buď
dolní trojúhelníková matice. Pak
je zase dolní trojúhelníková matice.
(b) Každou permutaci na
prvcích lze zapsat jako složení
transpozic.
(c) Buď
. Pak
=n)
právě když
=\left\{0\right\})
.
(d) Lineární zobrazení
je prosté právě tehdy když libovolnou bázi
zobrazí na bázi
.
1. Definujte pojem báze. Zformulujte a dokažte větu o existenci báze.
2. Buď
[latex]A=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & -5 & 0\\1 & 0 & -4 & 1\\2 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)$$B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1\\2 & -1 & 7\\1 & 1 & 2\\3 & 2 & 7\end{array}\right)[/latex]
Rozhodněte, zda [latex]Ker(A)=S(B)[/latex].
Rozhodněte, zda [latex]Ker(B)=S(A)[/latex].
3. Uvažujme dvě lineární zobrazí [latex]f,g:\mathcal{P}^{2}\longmapsto\mathbb{R}^{3}[/latex] zadaná
[latex]\begin{array}{c}f\left(2x^{2}-2x+3\right)=\left(11,1,4\right)^{T}\\f\left(x^{2}+4x+2\right)=\left(3,5,-2\right)^{T}\\f\left(3x^{2}+3x+2\right)=\left(1,0,2\right)^{T}\end{array}\begin{array}{c}g\left(x^{2}\right)=\left(1,-2,2\right)^{T}\\g\left(x\right)=\left(-2,0,1\right)^{T}\\g\left(1\right)=\left(1,2,-1\right)^{T}\end{array}[/latex]
Zvolte si bázi [latex]B[/latex] prostoru [latex]\mathbb{R}^{3}[/latex] a spočítejte matici [latex]_{kan}\left[g\circ f^{-1}\right]_{B}[/latex].
Rozhodněte, zda [latex]g\circ f^{-1}[/latex] zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou.
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
(a) Buď [latex]A[/latex] dolní trojúhelníková matice. Pak [latex]AA^T[/latex] je zase dolní trojúhelníková matice.
(b) Každou permutaci na [latex]n[/latex] prvcích lze zapsat jako složení [latex]n-1[/latex] transpozic.
(c) Buď [latex]A\in\mathbb{R}^{m\times n}[/latex]. Pak [latex]rank(A)=n[/latex] právě když [latex]Ker(A)=\left\{0\right\}[/latex].
(d) Lineární zobrazení [latex]f:U\mapsto V[/latex] je prosté právě tehdy když libovolnou bázi [latex]U[/latex] zobrazí na bázi [latex]V[/latex].