od Alesak » 10. 2. 2011 16:03
1. Definujte pojem jádro matice
Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice
2.
Rozhodněte, zda
Rozhodněte, zda
3. Máme polynomy
. Uvažujme dvě lineární zobrazení
zadaná:
Spočítejte matici
kde B je báze skládající se z vektorů
.
Rozhodněte, zda
zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou množinu
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravidvá:
a) Buď A dolní trojůhelníková matice. Pak
je zase dolní trojúhelníková matice.
b) Každou permutaci na n prvcích lze zapsat jako složení maximálně n - 1 transpozic.
c) Buď
Pak
d) Lineární zobrazení
je "na", právě tehdy když libovolnou bázi U zobrazí na bázi V
1. Definujte pojem jádro matice
Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice
2. [latex]A = \left(\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 2 & -3\\1 & 2 & 2 & 1\\2 & 7 &6&7\end{array}\right), B = \left(\begin{array}{rrrr}3 & -1 & -1 & 1\\2 & 2 & -3 & 0\\1 & 5 &-5&-1\end{array}\right)[/latex]
Rozhodněte, zda [latex]Ker(A^{T}) = R (B^{T})[/latex]
Rozhodněte, zda [latex]Ker(B) = R (A)[/latex]
3. Máme polynomy [latex]v_{1} = x^{2} + x - 2, v_{2} = -2x^{2} + 3, v_{3} = 2x^{2} + x[/latex]. Uvažujme dvě lineární zobrazení [latex]f,g: P^{2} \to R^{3}[/latex] zadaná:
[latex]f(v_{1})=(1,0,0)^{T}[/latex]
[latex]f(v_{2})=(0,1,0)^{T}[/latex]
[latex]f(v_{3})=(0,0,1)^{T}[/latex]
[latex]g(v_{1})=(1,2,3)^{T}[/latex]
[latex]g(v_{2})=(1,-2,1)^{T}[/latex]
[latex]g(v_{3})=(2,3,1)^{T}[/latex]
Spočítejte matici [latex][ g \circ f^{-1} ]_{kan \to B}[/latex] kde B je báze skládající se z vektorů [latex](1,1,-2)^{T}, (-2,0,3)^{T}, (2,1,0)^{T}[/latex].
Rozhodněte, zda [latex]g \circ f^{-1}[/latex] zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou množinu
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravidvá:
a) Buď A dolní trojůhelníková matice. Pak [latex]A^{T}A[/latex] je zase dolní trojúhelníková matice.
b) Každou permutaci na n prvcích lze zapsat jako složení maximálně n - 1 transpozic.
c) Buď [latex]A \in R^{m \times n}.[/latex] Pak [latex]rank(A) = m \Leftrightarrow Ker(A) = {0}[/latex]
d) Lineární zobrazení [latex]f : U \to V[/latex] je "na", právě tehdy když libovolnou bázi U zobrazí na bázi V