od maky » 11. 2. 2010 16:36
varianta A:
1. Lin. zobr. f: R3 --> P2 je zadane matici B_1[f]B_2 =
(3, -4, 1
1, 1, 5
2, -2, 2)
přičemž B_1 = ((2, -1, 2), (1, 3, -2), (7, 2, 4)), B_2 = (x+1, -x^2 + 2x -2, x^2 + x).
Najděte bázi jádra Ker(f). [6 bodu]
2. Definujte pojem báze.
Zformulujte a dokažte větu o existenci báze. [2+6 bodu]
3. Nad tělesem Z5 uvažujme dva prostory U, V:
U = Ker(2 1 4
1 3 2) ....jádro dane matice
V = R(1 1 2
4 3 2) ...řádkový prostor dané matice
Najděte bázi prostoru U+V a prostoru (U průnik V). [6 bodu]
4.Rozhodněte a zdůvodněte pravdivost: [po 2 bodech]
a) Pro každou čtvercovou matici A platí, že S(A) podmnožinou Ker(A) implikuje A^2 = 0.
b) Buď V vekt. p. nad T, u,v,w leží ve V. Potom u e span(v,w) právě když u patří do span(av, bw), pro každé a,b z T.
c) Buď f: R^n -->R^m lin. zobr., jehož matice (vůči kan. bázi) má hodnost n. Potom f je na.
d) Inverzni matice k symetrické reg. matici je opět symetrická matice.
varianta A:
1. Lin. zobr. f: R3 --> P2 je zadane matici B_1[f]B_2 =
(3, -4, 1
1, 1, 5
2, -2, 2)
přičemž B_1 = ((2, -1, 2), (1, 3, -2), (7, 2, 4)), B_2 = (x+1, -x^2 + 2x -2, x^2 + x).
Najděte bázi jádra Ker(f). [6 bodu]
2. Definujte pojem báze.
Zformulujte a dokažte větu o existenci báze. [2+6 bodu]
3. Nad tělesem Z5 uvažujme dva prostory U, V:
U = Ker(2 1 4
1 3 2) ....jádro dane matice
V = R(1 1 2
4 3 2) ...řádkový prostor dané matice
Najděte bázi prostoru U+V a prostoru (U průnik V). [6 bodu]
4.Rozhodněte a zdůvodněte pravdivost: [po 2 bodech]
a) Pro každou čtvercovou matici A platí, že S(A) podmnožinou Ker(A) implikuje A^2 = 0.
b) Buď V vekt. p. nad T, u,v,w leží ve V. Potom u e span(v,w) právě když u patří do span(av, bw), pro každé a,b z T.
c) Buď f: R^n -->R^m lin. zobr., jehož matice (vůči kan. bázi) má hodnost n. Potom f je na.
d) Inverzni matice k symetrické reg. matici je opět symetrická matice.