od Jookyn » 18. 2. 2009 10:34
V pohodě, jen jsem to sem nechtěl dávat zbytečně...
1) Nad tělesem Z7 uvažujme matici A = ( 2 5 3 , 1 3 5 , 2 1 3 ). Určete dimenzi a najděte bázi prostoru matic V = { X náleží Z73x3 | XTA = 0}.
2) Zformulujte Gram-Schmidtovu ortogonalizační metodu a dokažte její správnost.
3) Buď V podprostor R3 popsaný soustavou 2x1 - x2 = x1 + 3x3 = 0.
Mějme lineární zobrazení f: R3 -> R3 zadané následovně
f((2,2,3)) = (3,2,2)
f((1,-2,-2)) = (1,3,0)
f((1,-2,1)) = (2,3,1).
V obraze f(V) najděte takový vektor, který je nejblíže vektoru u = (6,6,6).
4) Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
a) Pro každé dva prvky a,b z tělesa T platí a2 + b2 = 0 => a = b = 0.
b) Buď f: Rn -> Rm lineární zobrazení, jehož matice (vůči kanonické bázi) má hodnost menší než m. Potom f nemůže být na.
c) Regularita matice A je postačující, ale ne nutnou podmínkou pro to, aby A měla inverzní matici.
d) Ve vektorovém prostoru R nad Q jsou vektory 3 a sqrt(2) lineárně nezávislé.
V pohodě, jen jsem to sem nechtěl dávat zbytečně...
1) Nad tělesem Z[sub]7[/sub] uvažujme matici A = ( 2 5 3 , 1 3 5 , 2 1 3 ). Určete dimenzi a najděte bázi prostoru matic V = { X náleží Z[sub]7[/sub][sup]3x3[/sup] | X[sup]T[/sup]A = 0}.
2) Zformulujte Gram-Schmidtovu ortogonalizační metodu a dokažte její správnost.
3) Buď V podprostor R[sup]3[/sup] popsaný soustavou 2x[sub]1[/sub] - x[sub]2[/sub] = x[sub]1[/sub] + 3x[sub]3[/sub] = 0.
Mějme lineární zobrazení f: R[sup]3[/sup] -> R[sup]3[/sup] zadané následovně
f((2,2,3)) = (3,2,2)
f((1,-2,-2)) = (1,3,0)
f((1,-2,1)) = (2,3,1).
V obraze f(V) najděte takový vektor, který je nejblíže vektoru u = (6,6,6).
4) Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
a) Pro každé dva prvky a,b z tělesa T platí a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] = 0 => a = b = 0.
b) Buď f: R[sup]n[/sup] -> R[sup]m[/sup] lineární zobrazení, jehož matice (vůči kanonické bázi) má hodnost menší než m. Potom f nemůže být na.
c) Regularita matice A je postačující, ale ne nutnou podmínkou pro to, aby A měla inverzní matici.
d) Ve vektorovém prostoru R nad Q jsou vektory 3 a sqrt(2) lineárně nezávislé.