od sZtorkie » 16. 2. 2009 17:20
Dukaz ma nekolik casti, zkusim nejak jednoduse shrnout, o co tam jde (kdyztak me opravte):
1) prevest matici A do odstupnovaneho tvaru A'
2) dim S(A) = dim S(A'):
- A' = RA - vezmeme vektory w' z S(A') a w z S(A); ukazeme, ze w' = Rw (par kroku)
- vyjadrime w vuci nejake bazi S(A) (v1,...,vd) - suma pujde od 1 do d = dim S(A); ukazeme, ze kdyz w' = Rw, tak po rozepsani w jde dat R do sumy a vyjde nam system generatoru S(A') (v'1,...,v'd) - tato suma jde taky od 1 do d, z cehoz plyne, ze dim S(A') <= dim S(A)
- to same bychom meli ukazat i opacne, aby byla videt rovnost (v podstate pouze preznaceni carek) - protoze A = R^(-1)*A'
3) dim S(A') = dim R(A'):
- obrazkem - sloupce s pivoty tvori bazi S(A'), nenulove radky bazi R(A'); libovolny vektor z S(A') dokazu prepsat jako linearni kombinaci podle pivotu
4) dim R(A) = dim R(A'):
- elementarni operace nemeni R() -> staci najit A' v odst. tvaru; nenulove radky v ni tvori bazi R(A') a je jich presne rank(A) (z definice hodnosti + pozorovani u dukazu, ze ekvivalentni upravy nemeni mnozinu reseni)
takze dim S(A) = dim S(A') = dim R(A') = dim R(A) = rank (A)
Dukaz ma nekolik casti, zkusim nejak jednoduse shrnout, o co tam jde (kdyztak me opravte):
1) prevest matici A do odstupnovaneho tvaru A'
2) dim S(A) = dim S(A'):
- A' = RA - vezmeme vektory [i]w'[/i] z S(A') a [i]w[/i] z S(A); ukazeme, ze [i]w'[/i] = R[i]w[/i] (par kroku)
- vyjadrime w vuci nejake bazi S(A) (v1,...,vd) - suma pujde od 1 do d = dim S(A); ukazeme, ze kdyz w' = Rw, tak po rozepsani w jde dat R do sumy a vyjde nam system generatoru S(A') (v'1,...,v'd) - tato suma jde taky od 1 do d, z cehoz plyne, ze dim S(A') <= dim S(A)
- to same bychom meli ukazat i opacne, aby byla videt rovnost (v podstate pouze preznaceni carek) - protoze A = R^(-1)*A'
3) dim S(A') = dim R(A'):
- obrazkem - sloupce s pivoty tvori bazi S(A'), nenulove radky bazi R(A'); libovolny vektor z S(A') dokazu prepsat jako linearni kombinaci podle pivotu
4) dim R(A) = dim R(A'):
- elementarni operace nemeni R() -> staci najit A' v odst. tvaru; nenulove radky v ni tvori bazi R(A') a je jich presne rank(A) (z definice hodnosti + pozorovani u dukazu, ze ekvivalentni upravy nemeni mnozinu reseni)
takze dim S(A) = dim S(A') = dim R(A') = dim R(A) = rank (A)