od Acris » 29. 1. 2010 00:18
1. (6 bodů) Popište uzávěr množiny X v euklidovské rovině
,
Odpověď zdůvodněte.
2. (6 bodů)
(a) Vysvětlete typy konvergence posloupností a řad funkcí.
(b) Ano nebo ne: když posloupnost reálných funkcí konverguje stejnoměrně na množině A a konverguje stejnoměrně na množině B, potom konverguje stejnoměrně i na jejich sjednocení
.
(c) Ano nebo ne: posloupnost funkcí
konverguje stejnoměrně na množině
.
Odpovědi zdůvodněte.
3. (6 bodů)
(a) Uveďte (bez důkazu) výsledky o mocninných řadách v reálném oboru.
(b) Rozhodněte, zda funkce
je na intervalu (0,1) rostoucí nebo klesající nebo není ani jedno z toho.
Odpověď zdůvodněte.
4. (6 bodů) Uvěďte a dokažte Banachovu větu o pevném bodu.
Teorie se zde sešla docela pěkná. Ale dohromady toho bylo docela hodně, především těch příkladů, které člověk musí rozmyslet. Mé ideje:
1.
2.
(b) ANO (Vyjde z definic stejnoměrné konvergence.)
(c) NE (Jako "kazibody" lze vzít např.
. Jelikož
(pro lib. pevné x a n jdoucí do nekonečna), tak
, tedy můžeme vzít
, že
nekonverguje stejnoměrně.)
1. (6 bodů) Popište uzávěr množiny X v euklidovské rovině [latex]R^2[/latex],
[latex]X = \{ [x,y] \mid x = 1, { 1 \over 2 }, , { 1 \over 3 }, , { 1 \over 4 }, ... ; 0 \leq y \leq 1 - x \}.[/latex]
Odpověď zdůvodněte.
2. (6 bodů)
(a) Vysvětlete typy konvergence posloupností a řad funkcí.
(b) Ano nebo ne: když posloupnost reálných funkcí konverguje stejnoměrně na množině A a konverguje stejnoměrně na množině B, potom konverguje stejnoměrně i na jejich sjednocení [latex]A \cup B[/latex].
(c) Ano nebo ne: posloupnost funkcí
[latex]f_n(x) = { 1 \over x + n }, n = 1, 2, 3, \dots[/latex]
konverguje stejnoměrně na množině [latex]\{ - {1 \over 2 }, - {3 \over 2 }, - {5 \over 2 }, - {7 \over 2 }, \dots \}[/latex].
Odpovědi zdůvodněte.
3. (6 bodů)
(a) Uveďte (bez důkazu) výsledky o mocninných řadách v reálném oboru.
(b) Rozhodněte, zda funkce
[latex]f(x) = \sum_{n \geq 1} { (-1)^{n+1} x^n \over n^3 }[/latex]
je na intervalu (0,1) rostoucí nebo klesající nebo není ani jedno z toho.
Odpověď zdůvodněte.
4. (6 bodů) Uvěďte a dokažte Banachovu větu o pevném bodu.
Teorie se zde sešla docela pěkná. Ale dohromady toho bylo docela hodně, především těch příkladů, které člověk musí rozmyslet. Mé ideje:
1. [latex]\overline{X} = X \cup \{ [x,y] \mid x = 0; 0 \leq y \leq 1 \}[/latex]
2.
(b) ANO (Vyjde z definic stejnoměrné konvergence.)
(c) NE (Jako "kazibody" lze vzít např. [latex]x_n = - { 2n + 1 \over 2 }[/latex]. Jelikož [latex]f_n(x) \to 0[/latex] (pro lib. pevné x a n jdoucí do nekonečna), tak [latex]\vert f_n(x_n) - f (x_n) \vert = 2[/latex], tedy můžeme vzít [latex]\varepsilon < 2[/latex], že [latex]f_n[/latex] nekonverguje stejnoměrně.)