Příklad 1 (7 bodů). Martina si hodí pravidelnou kostkou. Podle výsledku
si poté vezme
symetrických mincí, kde
pokud
,
pokud
a
pokud
.
(a) Martina hodila M mincemu a sleduje, kolik líců jí padlo. Pomožte jí určit rozdělení počtu líců na všech mincích dohromady.
(b) Určete rozptyl počtu líců v této hře. Dále určete rozptyl součtu líců a rubů v této hře.
(c)* Po prvním hodu si Martina vezme tolik mincí, kolik jí padlo líců a opět hodí. Určete rozdělení počtu líců po druhém hodu. Nemá-li žadnou minci, kterou by hodila, pak je počet líců nula a hra skončí. Mohla by Martina takto hrát do nekonečna?
Příklad 2 (7 bodů).
(a) Vyslovte větu o pravděpodobnosti sjednocení (priuncip inkluze a exkluze).
(b) Dokažte tuto větu.
(c) V misce je
nevyčerpatelné množství bonbonů osmi příchutí. Každý z šestnácti zákazníků si náhodně vybere jeden bonbon. S jakou pravděpodobností je každá příchuť vybrána alespoň jedním zákazníkem?
(d)* Dá se něco říci o případě, kdy máme
příchuití,
zákazníků a
?
Příklad 3 (6 bodů). Obchodník s lidskou závislostí vymyslel následující loterii. Každýá, kdo si koupí los za 100 Kč, může s pravděpodobností
vyhrát sto tisíc korun.
(a) Jaký je očekávaný zisk obchodníka, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
(b) S jakou pravděpodobností bude zisk obchodníka nejméně 750 000 Kč, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
(c) Kolik losů by měl obchodník prodat, aby s pravděpodobností alespoň 0,8 byl jeho zisk vyšší než dva miliony korun?
Použijte přibližné metody a zdůvodněte (!!!) svůj postup (ověřte podmínky použitých vět a tvrzení).
Příklad 4 (5 bodů). Doby jednotlivých výpočtů jsou nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny s hustotou
, kde
je nějaký neznámý parametr.
(a) Odhadněte parametr
metodou momentů.
(b) Rozhodněte, zda je tento odhad konzistentní. Svou odpověď řádně zdůvodněte.
Příklad 5 (6 bodů). Definujte kovarianci a korelaci.
(a) Vysvětlete, proč kovariance není vhodná
míra závislosti
a
, zatímco korelace ano.
(b) Napište co nejvíce vlastností korelace a kovariance. Jaký je vztah korelace a nezávislosti
a
?
(c) Nechť
a
jsou stejně rozdělené náhodné veličiny,
ne nutně nezávislé. Určete
. Co z toho plyne?
Příklad 6 (5 bodů). Při přenosu signálu (kódování 0-1) se každý znak změní s pravděpodobností
na opačný nezávisle na ostatních znacích. Přenášíme
znaků a označme
počet znaků, které se přenosem změní.
(a) Buď
pevné. Odhadněte pravděpodobnost, se kterou
poděleno očekávaným počtem změněných znaků
překročí
pro nějaké kladné pevné
.
(b) Pro
jdoucí do nekonečna určete, jak rychle může
konvergovat k nule, aby pravděpodobnostz předchozího bodu konvergovala k nule.
Uvědomte si, že jde v podstatě o bernoulliovské pokusy, tedy o speciální případ poissonovských pokusů.
Poznámky: K úspěšnému napsání písemky je zapotřebí získat alespoň
20 bodů z celkových 36. Příklady označené hvězdičkou jsou bonusové a přispívají ke zlepšení známky.
Kalkulačky povoleny, časový limit 3 hodiny. Jako příloha tabulka hodnot distribuční a kvantilové funkce normovaného normálního rozdělení.
[b]Příklad 1[/b] (7 bodů). Martina si hodí pravidelnou kostkou. Podle výsledku [latex]K[/latex] si poté vezme [latex]M[/latex] symetrických mincí, kde [latex]M = 1[/latex] pokud [latex]K \leq 3[/latex], [latex]M = 2[/latex] pokud [latex]K \in \left \lbrace 4, 5 \right \rbrace[/latex] a [latex]M = 3[/latex] pokud [latex]K = 6[/latex].
[b](a)[/b] Martina hodila M mincemu a sleduje, kolik líců jí padlo. Pomožte jí určit rozdělení počtu líců na všech mincích dohromady.
[b](b)[/b] Určete rozptyl počtu líců v této hře. Dále určete rozptyl součtu líců a rubů v této hře.
[b](c)*[/b] Po prvním hodu si Martina vezme tolik mincí, kolik jí padlo líců a opět hodí. Určete rozdělení počtu líců po druhém hodu. Nemá-li žadnou minci, kterou by hodila, pak je počet líců nula a hra skončí. Mohla by Martina takto hrát do nekonečna?
[b]Příklad 2[/b] (7 bodů).
[b](a)[/b] Vyslovte větu o pravděpodobnosti sjednocení (priuncip inkluze a exkluze).
[b](b)[/b] Dokažte tuto větu.
[b](c)[/b] V misce je [i]nevyčerpatelné[/i] množství bonbonů osmi příchutí. Každý z šestnácti zákazníků si náhodně vybere jeden bonbon. S jakou pravděpodobností je každá příchuť vybrána alespoň jedním zákazníkem?
[b](d)*[/b] Dá se něco říci o případě, kdy máme [latex]n[/latex] příchuití, [latex]2n[/latex] zákazníků a [latex]n \to \infty[/latex]?
[b]Příklad 3[/b] (6 bodů). Obchodník s lidskou závislostí vymyslel následující loterii. Každýá, kdo si koupí los za 100 Kč, může s pravděpodobností [latex]9 \cdot 10^{-4}[/latex] vyhrát sto tisíc korun.
[b](a)[/b] Jaký je očekávaný zisk obchodníka, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
[b](b)[/b] S jakou pravděpodobností bude zisk obchodníka nejméně 750 000 Kč, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
[b](c)[/b] Kolik losů by měl obchodník prodat, aby s pravděpodobností alespoň 0,8 byl jeho zisk vyšší než dva miliony korun?
[i]Použijte přibližné metody a zdůvodněte (!!!) svůj postup (ověřte podmínky použitých vět a tvrzení).[/i]
[b]Příklad 4[/b] (5 bodů). Doby jednotlivých výpočtů jsou nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny s hustotou
[latex]f(x)=a^2x\text{ exp}(-ax) \text{ pro }x \geq 0[/latex], kde [latex]a > 0[/latex] je nějaký neznámý parametr.
[b](a)[/b] Odhadněte parametr [latex]a[/latex] metodou momentů.
[b](b)[/b] Rozhodněte, zda je tento odhad konzistentní. Svou odpověď řádně zdůvodněte.
[b]Příklad 5[/b] (6 bodů). Definujte kovarianci a korelaci.
[b](a)[/b] Vysvětlete, proč kovariance není vhodná [i]míra[/i] závislosti [latex]X[/latex] a [latex]Y[/latex], zatímco korelace ano.
[b](b)[/b] Napište co nejvíce vlastností korelace a kovariance. Jaký je vztah korelace a nezávislosti [latex]X[/latex] a [latex]Y[/latex]?
[b](c)[/b] Nechť [latex]X[/latex] a [latex]Y[/latex] jsou stejně rozdělené náhodné veličiny, [i]ne nutně nezávislé[/i]. Určete [latex]\text{corr}(X+Y, X-Y)[/latex]. Co z toho plyne?
[b]Příklad 6[/b] (5 bodů). Při přenosu signálu (kódování 0-1) se každý znak změní s pravděpodobností [latex]p[/latex] na opačný nezávisle na ostatních znacích. Přenášíme [latex]n[/latex] znaků a označme [latex]S_n[/latex] počet znaků, které se přenosem změní.
[b](a)[/b] Buď [latex]n[/latex] pevné. Odhadněte pravděpodobnost, se kterou [latex]S_n[/latex] poděleno očekávaným počtem změněných znaků [latex]ES_n[/latex] překročí [latex]1 + \delta[/latex] pro nějaké kladné pevné [latex]\delta[/latex].
[b](b)[/b] Pro [latex]n[/latex] jdoucí do nekonečna určete, jak rychle může [latex]\delta _n[/latex] konvergovat k nule, aby pravděpodobnostz předchozího bodu konvergovala k nule.
[i]Uvědomte si, že jde v podstatě o bernoulliovské pokusy, tedy o speciální případ poissonovských pokusů.[/i]
[line][/line]
[b]Poznámky:[/b] K úspěšnému napsání písemky je zapotřebí získat alespoň [b]20 bodů[/b] z celkových 36. Příklady označené hvězdičkou jsou bonusové a přispívají ke zlepšení známky.
Kalkulačky povoleny, časový limit 3 hodiny. Jako příloha tabulka hodnot distribuční a kvantilové funkce normovaného normálního rozdělení.