od Quake » 6. 2. 2020 11:35
Moje řešení:
1. viz skripta, důkaz poznámka 4.3
2. Buď můžete obecně ukázat, že transpozice ani trojcyklus tu podmínku nesplňují a v centru je tedy pouze identita. Anebo můžete využít toho, že centrum je nutně normální podgrupa a S3 má pouze tři normální podgrupy - identita, celá grupa, trojcykly + id. A pak vám stačí ukázat, že pro trojcyklus to nefunguje a tedy nutně je v centru jen identita.
3. Stačí počítat v Z7^2 a všimnout si toho, že z Eulera je x^6 = 1 pro x nesoudělné se 7. A pro x = 0 to nemá řešení. Víme, že Z7 je těleso, takže y vždy dopočítáme jednoznačně a řešení je libovolné x nesoudělné se 7 a y = 6 v mod 7 (stačí zobecnit do Z).
4. viz skripta
5. Spočítejte si prvky Z16* (to jsou ty nesoudělné se 16), podívejte se, co vám vygeneruje 9 (1 a 9). Pomocí 1. věty o izomorfismu f: G/Ker(f) -> Im(f), f je izomorfismus. Tedy chceme, aby Ker(f) = {1, 9}. Použijeme modulo 8 a Im(f) je Z8*. Řád Z8* je 4. Cyklická není, každý prvek je sám sobě inverzní.
6. Z vlastnosti dělení můžeme uvažovat, že x^3 = -x - 1 = x + 1 v mod 2. Stačí nám najít takový prvek y, že (x+1)*y = 1. Takže pro y = x^2 + x je (x+1)*(x^2 + x) = x^3 + x^2 + x^2 + x = x + 1 + x = 1.
Moje řešení:
1. viz skripta, důkaz poznámka 4.3
2. Buď můžete obecně ukázat, že transpozice ani trojcyklus tu podmínku nesplňují a v centru je tedy pouze identita. Anebo můžete využít toho, že centrum je nutně normální podgrupa a S3 má pouze tři normální podgrupy - identita, celá grupa, trojcykly + id. A pak vám stačí ukázat, že pro trojcyklus to nefunguje a tedy nutně je v centru jen identita.
3. Stačí počítat v Z7^2 a všimnout si toho, že z Eulera je x^6 = 1 pro x nesoudělné se 7. A pro x = 0 to nemá řešení. Víme, že Z7 je těleso, takže y vždy dopočítáme jednoznačně a řešení je libovolné x nesoudělné se 7 a y = 6 v mod 7 (stačí zobecnit do Z).
4. viz skripta
5. Spočítejte si prvky Z16* (to jsou ty nesoudělné se 16), podívejte se, co vám vygeneruje 9 (1 a 9). Pomocí 1. věty o izomorfismu f: G/Ker(f) -> Im(f), f je izomorfismus. Tedy chceme, aby Ker(f) = {1, 9}. Použijeme modulo 8 a Im(f) je Z8*. Řád Z8* je 4. Cyklická není, každý prvek je sám sobě inverzní.
6. Z vlastnosti dělení můžeme uvažovat, že x^3 = -x - 1 = x + 1 v mod 2. Stačí nám najít takový prvek y, že (x+1)*y = 1. Takže pro y = x^2 + x je (x+1)*(x^2 + x) = x^3 + x^2 + x^2 + x = x + 1 + x = 1.