od Flash » 31. 5. 2006 18:27
Kdyby nekoho zajimalo zadani pisemky, tak tady je:
Pocetni cast:
1) Napiste vetu o klasicke Parsevalove rovnosti. Pro funkci f z P(2pi), pro kterou f na (-pi, pi) = Chi(-pi/2, pi/2) tuto rovnost napiste v co nejjednodussim tvaru. (4 body)
2) Necht M = {(x, y, z): x^2 + y^2 + 4 z^2 <= 4} a f(x, y, z) = 2 x^2 + y^2 - z^2.
Spoctete S = sup f(t), I = inf f(t), t z M.
Podrobne zduvodnete. Overte predpoklady pouzitych vet.
(Tyto vety zformulujte bez dukazu.) (8 bodu)
3) Vysetrete lokalni extremy funkce f(x, y, z) = sin(x + y +z) - sin(x) - sin(y) - sin(z) na (0, pi)^3.
Srozumitelne svuj postup vysvetlete. (8 bodu)
Teoreticka cast:
1) Napiste definice:
a) absolutne spojita funkce,
b) baze otevrenych mnozin v metrickem prostoru. (4 body)
2) Napiste zneni Riemann - Lebesgueova lemmatu. (3 body)
3) Dokazte, ze mnozina {f z L2(-pi, pi): integral od -pi do pi x.f(x) >=0} neni 1.kategorie v (realnem) L2(-pi, pi). Podrobne overte predpoklady uzitych vet. Tyto vety (tvrzeni) zformulujte bez dukazu. (4 body)
4) Volba (bud A nebo B)
A) (i) Zformulujte tvrzeni o pozitivne definitnich kvadratickych formach, ktere je zapotrebi v teorii lokalnich extremu.
(ii) Toto tvrzeni podrobne dokazte. Pouzite vety zformulujte bez dukazu. (5 bodu)
B) (i) S jakou tridou prostoru splyva trida totalne omezenych a uplnych prostoru? (Jde o vetu z prednasky.)
(ii) Sve tvrzeni podrobne dokazte.
(iii) Potrebne vety a tvrzeni ze 4. semestru zformulujte presne bez dukazu. (9 bodu)
5*) Tvori system x, sin(x), sin(2 x), cos(2 x), sin(3 x), cos(3 x), ... Schanderovu bazi v (realnem) L2(0, 2pi)? Podrobne zduvodnete. (4 body)
Kdyby nekoho zajimalo zadani pisemky, tak tady je:
Pocetni cast:
1) Napiste vetu o klasicke Parsevalove rovnosti. Pro funkci f z P(2pi), pro kterou f na (-pi, pi) = Chi(-pi/2, pi/2) tuto rovnost napiste v co nejjednodussim tvaru. (4 body)
2) Necht M = {(x, y, z): x^2 + y^2 + 4 z^2 <= 4} a f(x, y, z) = 2 x^2 + y^2 - z^2.
Spoctete S = sup f(t), I = inf f(t), t z M.
Podrobne zduvodnete. Overte predpoklady pouzitych vet.
(Tyto vety zformulujte bez dukazu.) (8 bodu)
3) Vysetrete lokalni extremy funkce f(x, y, z) = sin(x + y +z) - sin(x) - sin(y) - sin(z) na (0, pi)^3.
Srozumitelne svuj postup vysvetlete. (8 bodu)
Teoreticka cast:
1) Napiste definice:
a) absolutne spojita funkce,
b) baze otevrenych mnozin v metrickem prostoru. (4 body)
2) Napiste zneni Riemann - Lebesgueova lemmatu. (3 body)
3) Dokazte, ze mnozina {f z L2(-pi, pi): integral od -pi do pi x.f(x) >=0} neni 1.kategorie v (realnem) L2(-pi, pi). Podrobne overte predpoklady uzitych vet. Tyto vety (tvrzeni) zformulujte bez dukazu. (4 body)
4) Volba (bud A nebo B)
A) (i) Zformulujte tvrzeni o pozitivne definitnich kvadratickych formach, ktere je zapotrebi v teorii lokalnich extremu.
(ii) Toto tvrzeni podrobne dokazte. Pouzite vety zformulujte bez dukazu. (5 bodu)
B) (i) S jakou tridou prostoru splyva trida totalne omezenych a uplnych prostoru? (Jde o vetu z prednasky.)
(ii) Sve tvrzeni podrobne dokazte.
(iii) Potrebne vety a tvrzeni ze 4. semestru zformulujte presne bez dukazu. (9 bodu)
5*) Tvori system x, sin(x), sin(2 x), cos(2 x), sin(3 x), cos(3 x), ... Schanderovu bazi v (realnem) L2(0, 2pi)? Podrobne zduvodnete. (4 body)